PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS

 

A. Pengertian Pesamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus adalah suatu fungsi yang apabila digambarkan ke dalam bidang Cartesius akan berbentuk garis lurus. Garis lurus ini mempunyai nilai kemiringan suatu garis yang dinamakan gradien (m).
Bentuk umum :
y = mx + c
dimana:
m = gradien (kemiringan garis)
c = konstanta

B. Gradien Garis Lurus (m)

Gradien adalah nilai yang menyatakan kemiringan suatu garis yang dinyatakan dengan m.
Untuk mencari nilai gradien suatu garis dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu:
1. Garis melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2)

contoh soal:

gradien garis lurus yang melalui titik (5,2) dan (-1,8) adalah....

2. Garis melalui pusat koordinat 0 dan melalui titik (x1, y1)

contoh:

Gradien garis lurus melalui titik (0,0) dan (4,8) adalah....
Jawab:
m = y1/x1 → x1= 4 ; y1= 8
= 8/4 = 2

3. Garis memotong kedua sumbu
a. Garis miring ke kanan

b. Garis miring ke kiri

4. Persamaan garis ax + by + c = 0 maka

contoh:

Gradien garis dengan persamaan 2x – y - 5 = 0 adalah...
Jawab:
2x – y - 5 = 0

 ax + by + c = 0, maka a = 2 ; b = -1 dan c = -5

Setelah mempelajari materi di atas 

silahkan kerjakan soal berikut ini

 

 

FUNGSI ATAU PEMETAAN

A. PETA KONSEP

 

 

 B. FUNGSI
 FUNGSI ATAU PEMETAAN

1.    Pengertian Fungsi

pada fungsi, setiap anggota himpunan daerah asal dipasangkan dengan aturan khusus. Aturan tersebut mengharuskan setiap anggota himpunan daerah asal mempunyai pasangan dan hanya tepat satu dipasangkan dengan daerah kawannya.

Kesimpulannya, setiap relasi belum tentu fungsi, namun setiap fungsi pasti merupakan relasi.

Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalah

a.       Setiap anggota A mempunyai pasangan di B

b.      Setiap anggota B dipasangkan dengan tepat satu anggota B

• Berikut contoh fungsi dan bukan fungsi pada diagram panah A ke B

 

• Berikut contoh fungsi dan bukan fungsi pada pasangan berurutan

Untuk soal semacam ini kita hanya fokus pada pasangan urutan pertama tidak boleh ada yang kembar atau sama sedangkan urutan kedua tidak berpengaruh selama tidak ada syarat yang mengikatnya. Seperti pada a, b, dan d dikatakan fungsi karena semua pasangan urutan pertama tidak ada yang sama sedangkan c bukan fungsi karena pasangan urutan pertamanya ada yang kembar atau sama.

• Berikut contoh fungsi dan bukan fungsi pada diagram cartesius

 

 

Untuk soal semacam ini kita hanya fokus pada sumbu x. Jika pada sumbu x mempunyai lebih dari satu pasangan di y maka bisa di simpulkan bukan fungsi.

Sehingga Dari gambar pertama yang memiliki pasangan lebih dari satu hanya di x, dan y memiliki tepat satu pasang di x, jadi masih di katakan fungsi, namun pada gambar kedua pasangan kasusnya sebaliknya sehingga dikatakan bukan fungsi.

 

 

2.    Menentukan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin dari Dua Himpunan.

Dalam menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan, dimana banyaknya anggota himpunan A kita sebut sebagai n(A)=a sedangkan banyaknya anggota himpunan B kita sebut sebagai n(B)=b maka :

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah bª

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah a^b

sehingga misalnya A={1,2} dan B={a,b,c} maka n(A)=2 dan n(B)=3, banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah bª= 3² = 9

 

3. NILAI FUNGSI

a.   Domain, Kodomain dan Range

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan B disebut Kodomain (daerah kawan) dan semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Contoh :

1.      Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “ Faktor dari”. Tuliskan Domain, Kodomain dan Range nya !

      Penyelesaian:

jadi :

Domain = {2, 4, 6}

Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Range = { 2, 4, 6, 8, 10}

 

 

 2.     

        Penyelesaian:

Domain = { 3, 5} 
Kodomain {1, 2, 6, 8, 9} 

Range = { 1, 2, 8}

3.

                Penyelesaian:

      Domain = { 3, 5, 7, 8}

Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}

Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}

B.   Notasi Fungsi dan Nilai Fungsi

1.      Notasi dan Rumus Fungsi

Fungsi dilambangkan dengan huruf kecil, biasanya f,g, atau h, dan seterusnya. Fungsi dapat     dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut :

f : x---> f(x)

Misalnya, ada fungsi yang memetakan himpunan domain A ke himpunan kodomain B dengan aturan f : x---> 2x. Maka, kita dapat menuliskan rumusnya f(x) = 2x. Nilai x adalah domain dan nilai 𝑓(𝑥) adalah hasilnya.

 

2.      Nilai Fungsi

Setiap nilai yang berada dalam daerah asal jika dimasukkan ke dalam sebuah fungsi f maka akan diperoleh nilai fungsi yang merupakan daerah hasilnya.

Contoh :

1.      Sebuah fungsi f dari himpunan A ke B adalah sebagai berikut!

𝑓(𝑥) = 3𝑥 – 4, 𝑥 ∈ 𝐴. Jika 𝐴 = {1, 2, 3, 4}, tentukanlah

a. 𝑓(2)

b. 𝑓(4)

Penyelesaian:

a. 𝑓(2) = 3(2) – 4 = 6 – 4 = 2

b. 𝑓(4) = 3(4) – 4 = 12 – 4 = 8

 

2.      Buatlah tabel fungsi f(x) = –2x + 5, jika diketahui daerah asalnya {-2, -1, 0, 1, 2}!

Penyelesaian:

𝑓(– 2) = – 2(– 2) + 5 = 9;

𝑓(– 1) = – 2(– 1) + 5 = 7;

𝑓(0) = – 2(0) + 5 = 5;

𝑓(1) = – 2(1) + 5 = 3;

𝑓(2) = – 2(2) + 5 = 1.

Tabel fungsi:

 

C.   Korespondensi Sati-Satu

Sebuah pemetaan dari himpunan A ke himpunan B disebut dengan korespondensi satu- satu Jika masing-masing anggota himpunan A telah dipasangkan dengan sempurna kepada satu himpunan B dan untuk masing-masing anggota himpunan B dipasangkan dengan sempurna himpunan A.

dapun syarat-syarat korespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B adalah sebagai berikut:

1.      Himpunan A dan B memiliki banyak anggota yang sama.

2.      Ada sebuah relasi yang menggambarkan bahwa masing-masing anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B dan untuk masing-masing B berpasangan dengan tepat pada setiap anggota himpunan A.

3.      Masing-masing anggota daerah hasil tidak akan bercabang terhadap daerah asal atau begitu pula sebaliknya.

Berikut ini adalah beberapa perbedaan antara relasi, fungsi dan korespondensi satu-satu satu fungsi A ke B :

Agar kalian lebih mengerti bisa menonton penjelasan mengenai Fungsi pada Link

https://www.youtube.com/watch?v=cfC

Setelah mempelajari materi di atas silahkan kerjakan soal berikut ini

SALAM SEMANGAT DAN SEHAT SELALU

RELASI DAN FUNGSI

RELASI DAN FUNGSI 

BAHAN AJAR : RELASI

Kompetensi Dasar

3.3 Mendeskripsikan dan menyatakan relasi dan fungsi dengan menggunakan berbagai representasi (kata-kata, tabel, grafik, diagram, dan persamaan)

4.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan relasi dan fungsi

dengan menggunakan berbagai representasi

1.    Pengertian Relasi

Pak Budi mempunyai lima orang anak, yaitu Riska, Dimas, Candra, Dira, dan Reni. Masing-masing anak mempunyai kegemaran berolah raga yang berbeda-beda. Riska gemar berolah raga bulutangkis dan renang. Dimas gemar berolah raga sepak bola. Candra gemar berolah raga sepak bola. Sedangkan Dira dan Reni mempunyai kegemaran berolah raga yang sama yaitu basket dan bulutangkis.

 

Jika anak-anak Pak Budi dikelompokkan menjadi satu dalam himpunan A, maka anggota dari himpunan A adalah Riska, Dimas, Candra, Dira, dan Reni. Himpunan A dituliskan A =

{Riska, Dimas, Candra, Dira, Reni}. Sedangkan jenis olah raga yang digemari anak-anak Pak Budi dapat dikelompokkan dalam himpunan B dituliskan B = {Bulutangkis, Renang, Basket, Sepak bola}.

Terhadap kegemaran anak-anak pak Budi, terdapat hubungan antara himpunan A dan himpunan B. Hubungan tersebut berkait dengan gemar berolah raga dari anak-anak pak Budi. Riska gemar berolah raga badminton dan renang,

Dimas gemar berolah raga sepakbola, Candra gemar berolah raga sepakbola,

Dira gemar berolah raga badminton dan basket, Reni gemar berolah raga badminton dan basket.
Apabila gemar berolah raga kita notasikan dengan tanda panah, pernyataan-pernyataan di atas dapat digambarkan sebagai gemar berolah raga.

Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan pernyataan berikut:

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

 

2.    Menyatakan Relasi

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius.

a.  Diagram Pana

Perhatikan gambar di bawah.

Relasi antara himpunan A dan himpunan B dinyatakan oleh arah panah. Oleh karena itu, diagram tersebut dinamakan diagram panah.

b. Himpunan pasangan berurutan.

Relasi "menyukai warna" pada gambar di atas dapat juga dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan. Anggota-anggota himpunan A = {Eva, Roni, Tia, Dani} dipasangkan dengan anggota-anggota himpunan B = {merah, hitam, biru} sebagai berikut :

Pernyataan "Eva menyukai warna merah" ditulis (Eva, merah). Pernyataan "Roni menyukai warna hitam" ditulis (Roni, hitam). Pernyataan "Tia menyukai warna merah" ditulis (Tia, merah). Pernyataan "Dani menyukai warna biru" ditulis (Dani, biru).

Himpunan pasangan berurutan untuk relasi ini ditulis: {(Eva, merah), (Roni, hitam), (Tia, merah), (Dani, biru)}.

c. Diagram Cartesius

 Relasi pada gambar di atas dapat dinyatakan dalam diagram Cartesius. Anggota-anggota himpunan A sebagai himpunan pertama ditempatkan pada sumbu mendatar dan anggota- anggota himpunan B pada sumbu tegak. Setiap anggota himpunan A yang berpasangan dengan anggota himpunan B, diberi tanda noktah (•).

Untuk lebih jelasnya, perhatikan diagram Cartesius yang menunjukkan relasi "menyukai warna" berikut.

Contoh soal:

Sajikan relasi “akar dari” dari himpunan P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ke himpunan Q = {1, 2, 4, 9, 12, 16, 20, 25, 36, 49} dalam bentuk diagram panah, diagram Kartesius dan himpunan pasangan berurutan.

Jawaban:

Himpunan P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Himpunan Q = {1, 2, 4, 9, 12, 16, 20, 25, 36, 49}

Menyajikan relasi “akar dari” dari himpunan P dan Q dalam bentuk diagram panah, diagram Kartesius dan himpunan pasangan berurutan.

a. Diagram panah

c. Himpunan Pasangan Berurutan

{(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25), (6, 36)}

 BAHAN AJAR : FUNGSI

 Indikator Pencapaian Kompetensi

3.3.4       Menyatakan ciri-ciri dari suatu fungsi

3.3.5       Menentukan fungsi dan bukan fungsi

3.3.6       Menyajikan fungsi dengan menggunakan himpunan pasangan berurutan, diagram panah, persamaan fungsi, tabel, dan grafik

4.3.2   Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi dengan menggunakan berbagai representasi

 Materi Pembelajaran

1.    Fungsi

Fungsi (pemetaan) merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B, jika setiap anggota himpunan A berpasangan tepat satu dengan anggota himpunan B. Semua anggota himpunan A atau daerah asal disebut domain, sedangkan semua anggota himpunan B atau daerah kawan disebut kodomain. Hasil dari pemetaan antara domain dan kodomain disebut range fungsi atau daerah hasil. Sama halnya dengan relasi, fungsi juga dapat dinyatakan dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurutan dan dengan diagram Cartesius.

Perhatikan diagram panah di bawah ini.

 

Jadi, dari diagram panah di atas dapat disimpukan:

Domain adalah A = {1,2,3} Kodomain adalah B ={1,2,3,4} Range fungsi = {2,3,4}

Relasi adalah aturan yang menghubungkan anggota-anggota dua himpunan. Akan tetapi, relasi dari himpunan A ke himpunan B tidak selalu berupa fungsi. Relasi tidak memaksakan semua anggota Domain dipasangkan. Relasi juga tidak memaksakan bahwa banyak pasangan dari setiap unsurnya harus tunggal. Relasi merupakan konsep yang lebih longgar dibandingkan fungsi. Karena itu, setiap fungsi adalah relasi, tetap tidak setiap relasi merupakan fungsi.

 2.    Bentuk Penyajian Fungsi

Selain diagram panah dan himpunan pasangan berurutan, suatu fungsi dapat disajikan dalam bentuk persamaan fungsi, dengan tabel dan dengan grafik.

a.    Persamaan Fungsi

Diketahui fungsi 𝑓 dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Relasi yang didefinisikan adalah “setengah kali dari”. Relasi ini dapat dinyatakan dengan rumus fungsi, yaitu sebagai berikut.

Untuk menyatakan dengan rumus fungsi, coba perhatikan pola berikut ini.  Dari himpunan  pasangan  berurutan {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)} didapat :

(1, 2)	→	(1 , 2 𝑥 1)
(2, 4)	→	(2 , 2 𝑥 2)
(3, 6)	→	(3 , 2 𝑥 3)
(4, 8)	→	(4 , 2 𝑥 4)
(5, 10)	→	(5 , 2 𝑥 5)

Kalau anggota P kita sebut 𝑥 dan anggota Q kita sebut 𝑦, maka y = 2x

b.    Tabel Fungsi

Diketahui fungsi 𝑓 dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Relasi yang didefinisikan adalah “setengah kali dari”. Relasi ini dapat dinyatakan dengan grafik, yaitu sebagai berikut.

𝑥	1	2	3	4	5
𝑓(𝑥)	2	4	6	8	10

b.    Grafik Fungsi

 Diketahui fungsi 𝑓 dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Relasi yang didefinisikan adalah “setengah kali dari”. Relasi ini dapat dinyatakan dengan grafik, yaitu sebagai berikut.

Setelah mempelajari materi silahkan kalian absen di Link berikut ini: